問題
実数に対して，空間の点をで表す．さらに，点を通り方向ベクトルが，である2本の直線を含む平面をで表す．，，であるとき，次の問に答えよ．
(1) 3点，，を通る平面の方程式を求めよ．
(2) 3つの平面，，の共有点の座標を求めよ．
(3) がを通るための必要十分条件を求めよ．
出典：東北大学 1991年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第2問
方針
(1)は原点を通る平面 に を代入して係数を決める。(2)は、2つの方向ベクトルから の方程式 を作り、 を連立する。(3)では求めた共有点 を(1)の平面に代入し、仮定 を使って必要十分条件を整理する。
解答
(1)
3点 を通る平面 は原点 を通るので と書ける。 として とおくと である。
点 を代入すると すなわち である。同様に を代入して を得る。2式を引くと であり、 より である。これを戻すと である。したがって である。
(2)
平面 は点 を通り、方向ベクトル を含む。この2つの方向に垂直なベクトルとして を取れる。よって の方程式は である。整理して となる。 では である。したがって共有点 は を満たす。さらに を代入して を得る。 なので、それぞれ である。これらを等しくすると である。 より である。したがって である。よって である。
(3)
が 上にあるためには、(1)の平面の方程式に を代入して0になればよい。すなわち である。左辺を整理すると である。仮定より だから、これは と同値である。よって必要十分条件は である。