問題
楕円 と第1象限の点で接する直線をとし，，および軸，軸で囲まれる図形をとする．
(1) の面積を最小にするの方程式を求めよ．
(2) (1)で求めた直線で定まる図形を軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．
出典：東北大学 1991年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第3問
方針
接点を と置くと、接線は と書ける。図形 の面積は、この接線と座標軸でできる三角形の面積から第1象限の楕円部分の面積を引いたものなので、 を最大にすればよい。(2)は最小時の直線でできる円錐から、半楕円体の体積を引く。
解答
(1)
接点を とおく。ただし第1象限の点なので である。楕円 のこの点における接線は である。
この接線の 切片は であり、 切片は である。したがって、接線と座標軸でできる三角形の面積は
である。
一方、第1象限にある楕円の部分の面積は、楕円全体の4分の1だから である。よって図形 の面積は である。
これを最小にするには、 を最大にすればよい。ここで であり、等号は のときに成り立つ。したがって求める接線は すなわち である。
(2)
(1)の直線は、 切片 、 切片 をもつ。この直線と座標軸でできる三角形を 軸のまわりに回転すると、高さ 、底面半径 の円錐ができる。その体積は である。
また、第1象限の楕円部分を 軸のまわりに回転すると、半分の楕円体ができる。楕円体全体の体積は、半径方向の長さが であるから であり、その半分は である。
したがって、求める体積は
である。