東北大学 1991年度文系数学前期第4問解答・解説

問題

点 $(1, - 1)$ を点 $(2, - 2)$ に点 $(1, 1)$ を点 $(2, 0)$ に移す1次変換を $f$ とする．さらに，直線 $l : x + y = 1$ 上の点 $P_{n}$ $(n = 1, 2, 3, \dots\dots)$ を次のように帰納的に定める。

(i) 点 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ を $P_{1}$ とする．

(ii) $P_{n}$ を $f$ で移した点を $P_{n}^{'}$ とし，原点 $O$ と $P_{n}^{'}$ を通る直線が $l$ と交わる点を $P_{n + 1}$ とする．

$a_{n} = ∣ P_{n} P_{n + 1} ∣$ とすると， $a_{1}, a_{2}, \dots\dots, a_{n}, \dots\dots$ はどのような数列か．

出典：東北大学 1991年度前期日程第2次学力試験文系前期第4問

方針

点 $P_{n}$ を直線 $x + y = 1$ 上の点 $(u_{n}, 1 - u_{n})$ と表す。まず与えられた2点の移り方から1次変換の行列を決める。次に $P_{n}$ を移した点 $P_{n}^{'}$ と原点を結ぶ直線を倍率で表し、 $x + y = 1$ と交わる条件から $u_{n + 1}$ の漸化式を作る。最後に距離 $∣ P_{n} P_{n + 1} ∣$ を $∣ u_{n + 1} - u_{n} ∣$ で表す。

解答

1次変換を表す行列を

M = (a c b d)

とする。条件より

M (1 - 1) = (2 - 2), M (11) = (20)

である。すなわち $a - b = 2, c - d = - 2, a + b = 2, c + d = 0$ である。これを解くと

a = 2, b = 0, c = - \frac{2}{2}, d = \frac{2}{2}

である。したがって

M = (2 - \frac{2}{2} 0 \frac{2}{2})

である。

直線 $l : x + y = 1$ 上の点 $P_{n}$ を $P_{n} = (u_{n}, 1 - u_{n})$ とおく。 $P_{1} = (1/2, 1/2)$ だから $u_{1} = \frac{1}{2}$ である。

この点を $f$ で移すと $P_{n}^{'} = (2 u_{n}, \frac{2}{2} - 2 u_{n})$ である。ここで $2 u_{n} + (\frac{2}{2} - 2 u_{n}) = \frac{2}{2}$ である。原点と $P_{n}^{'}$ を通る直線上の点は、ある倍率 $λ$ を用いて $λ P_{n}^{'}$ と表せる。これが $x + y = 1$ 上にあるためには $λ \cdot \frac{2}{2} = 1$ であるから $λ = 2$ である。したがって $P_{n + 1} = 2 P_{n}^{'} = (2 u_{n}, 1 - 2 u_{n})$ となり $u_{n + 1} = 2 u_{n}$ を得る。

よって $u_{n} = 2^{n - 1} u_{1} = 2^{n - 2}$ である。また $P_{n + 1} - P_{n} = (u_{n + 1} - u_{n}, - (u_{n + 1} - u_{n}))$ なので $a_{n} = ∣ P_{n} P_{n + 1} ∣ = 2 ∣ u_{n + 1} - u_{n} ∣$ である。ここで $u_{n + 1} - u_{n} = 2^{n - 1} - 2^{n - 2} = 2^{n - 2}$ だから $a_{n} = 2 2^{n - 2}$ である。

したがって数列 $a_{1}, a_{2}, \dots$ は $a_{n} = \frac{2}{2} \cdot 2^{n - 1}$ であり、初項 $2 /2$ 、公比 $2$ の等比数列である。

東北大学 1991年度文系数学 前期 第4問

問題

方針

解答

東北大学 1991年度
文系数学前期第4問