東北大学 1991年度
文系数学 前期 第1問

解答

(1)

球面 $x^2+y^2+z^2-2z=0$ は $x^2+y^2+(z-1{)}^2=1$ であるから、中心は $C=(0,0,1)$ で、半径は $1$ である。

直線 $x+y-k=z=0$ を含む平面を考える。この直線は平面 $x+y-k=0$ と平面 $z=0$ の交線であるから、この直線を含む平面は $z=0$ または、ある実数 $m$ を用いて $x+y-k+mz=0$ と書ける。

まず $z=0$ について、中心 $C(0,0,1)$ からの距離は $1$ である。したがってこれは接平面であり、接点は $\boxed{(0,0,0)}$ である。

次に平面 $x+y-k+mz=0$ が球面に接するとする。中心 $C(0,0,1)$ からこの平面までの距離は $\frac{|m-k|}{\sqrt{2+m^2}}$ である。これが半径 $1$ に等しいので $(m-k{)}^2=2+m^2$ である。展開して $m^2-2km+k^2=2+m^2$ となるから $2km=k^2-2$ である。$k>0$ より $m=\frac{k^2-2}{2k}$ を得る。よってもう1つの接平面は $\boxed{x+y-k+\frac{k^2-2}{2k}z=0}$ である。

この平面の接点を求める。法線ベクトルは $\vec{n}=\left(1,1,\frac{k^2-2}{2k}\right)$ である。中心から平面へ下ろした垂線の足が接点である。ここで $\vec{n}\cdot C-k=\frac{k^2-2}{2k}-k=-\frac{k^2+2}{2k}$ であり、また $|\vec{n}{|}^2=2+{\left(\frac{k^2-2}{2k}\right)}^2=\frac{(k^2+2{)}^2}{4k^2}$ である。したがって接点は $C-\frac{\vec{n}\cdot C-k}{|\vec{n}{|}^2}\vec{n}=C+\frac{2k}{k^2+2}\vec{n}$ である。よって

を得る。

以上より、求める2つの平面は $\boxed{z=0,x+y-k+\frac{k^2-2}{2k}z=0}$ であり、それぞれの接点は

である。

(2)

2つの平面の法線ベクトルは ${\vec{n}}_1=(0,0,1),{\vec{n}}_2=(1,1,m)$ ただし $m=\frac{k^2-2}{2k}$ である。$\sqrt{2}\leqq k\leqq \sqrt{6}$ では $m\geqq 0$ なので、2平面のなす角 $\theta$ は $\cos \theta =\frac{m}{\sqrt{2+m^2}}$ を満たす。

また $m=\frac{1}{2}\left(k-\frac{2}{k}\right)$ であり、$k>0$ では $k$ が大きくなるほど $m$ も大きくなる。したがって $0\leqq m\leqq \frac{\sqrt{6}}{3}$ である。

関数 $m/\sqrt{2+m^2}$ は $m\geqq 0$ で増加するので

である。$0\leqq \theta \leqq \pi /2$ で考えているから $\boxed{\frac{\pi }{3}\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2}}$ である。