東北大学 1991年度
文系数学 前期 第2問

解答

(1)

$u=x-\alpha$ とおく。このとき $x-\beta =u-(\beta -\alpha )$ であり、$x=\alpha$ のとき $u=0$、$x=\beta$ のとき $u=\beta -\alpha$ である。よって

である。

(2)

交点を求める。$C_1$ と $C_2$ の交点では $x^2=\frac{1}{2}(x+1{)}^2$ である。したがって $2x^2=x^2+2x+1$ より $x^2-2x-1=0$ である。よって $\alpha =1-\sqrt{2},\beta =1+\sqrt{2}$ である。

区間 $[\alpha ,\beta ]$ では $C_2$ が $C_1$ より上にある。実際、差は $\frac{1}{2}(x+1{)}^2-x^2=-\frac{1}{2}(x-\alpha )(x-\beta )$ である。したがって、$C_1$ と $C_2$ で囲まれる部分の面積を $S$ とすると、(1)より

である。ここで $\beta -\alpha =2\sqrt{2}$ だから $S=\frac{(2\sqrt{2}{)}^3}{12}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$ である。

次に、$C_2$ の $x=t$ における接線を求める。$C_2$ は $y=\frac{1}{2}(x+1{)}^2$ であり、傾きは $x+1$ であるから、点 $R\left(t,\frac{1}{2}(t+1{)}^2\right)$ での接線は $y=(t+1)(x-t)+\frac{1}{2}(t+1{)}^2$ である。整理して $y=(t+1)x+\frac{1-t^2}{2}$ である。

この接線と $C_1:y=x^2$ の交点の $x$ 座標は $x^2=(t+1)x+\frac{1-t^2}{2}$ を満たす。すなわち $x^2-(t+1)x+\frac{t^2-1}{2}=0$ である。この2根を $r,s$ とし、$r<s$ とする。判別式を $D$ とおくと $D=(t+1{)}^2-2(t^2-1)=-t^2+2t+3$ であり、根の間隔は $s-r=\sqrt{D}$ である。

接線と $C_1$ で囲まれる部分の面積は ${\int }_r^s\{(t+1)x+\frac{1-t^2}{2}-x^2\}dx$ である。これは $-{\int }_r^s(x-r)(x-s)dx$ に等しいので、(1)より $\frac{1}{6}(s-r{)}^3=\frac{1}{6}{D}^{3/2}$ である。

条件より $\frac{1}{6}{D}^{3/2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{4\sqrt{2}}{3}=\frac{4}{3}$ である。したがって $D^{3/2}=8$ であり、$D>0$ だから $D=4$ である。よって $-t^2+2t+3=4$ すなわち $(t-1{)}^2=0$ である。したがって $\boxed{t=1}$ である。これは $1-\sqrt{2}<t<1+\sqrt{2}$ を満たす。