東北大学 1991年度文系数学前期第3問解答・解説

問題

$x y z$ 空間の4点 $(0, 0, 0)$ ， $(cos θ, sin θ, 0)$ ， $(cos θ, sin θ, θ)$ ， $(0, 0, θ)$ を頂点とする長方形を $R_{θ}$ とし， $θ$ が0から $\frac{π}{2}$ まで変化するとき， $R_{θ}$ が動いてできる立体を $K$ とする．

(1) $K$ を平面 $z = t$ $(0 ≦ t ≦ \frac{π}{2})$ で切ったときの切り口の面積を求めよ．

(2) $K$ の体積を求めよ．

出典：東北大学 1991年度前期日程第2次学力試験文系前期第3問

方針

高さ $z = t$ で切ったとき、その高さを含む長方形 $R_{θ}$ は $θ ≧ t$ のものだけである。各 $R_{θ}$ は原点から単位円上の点 $(cos θ, sin θ)$ へ向かう線分を含むので、断面は半径1、角度範囲 $t ≦ θ ≦ π /2$ の扇形になる。断面積を $t$ で積分して体積を出す。

解答

(1)

長方形 $R_{θ}$ は、高さ $0 ≦ z ≦ θ$ にある。したがって、平面 $z = t$ で切ったときに $R_{θ}$ が断面に現れるための条件は $t ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ である。

また、 $R_{θ}$ は各高さで、原点から $(cos θ, sin θ)$ へ向かう長さ1の線分を含む。よって、平面 $z = t$ における切り口は、半径1で、偏角が $t ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ を動く扇形である。

この扇形の中心角は $\frac{π}{2} - t$ であるから、切り口の面積は $\frac{1}{2} (\frac{π}{2} - t)$ である。

(2)

(1)で求めた断面積を高さ $t$ について積分すればよい。したがって体積を $V$ とすると

V = \int_{0}^{π /2} \frac{1}{2} (\frac{π}{2} - t) d t = \frac{1}{2} [\frac{π}{2} t - \frac{t ^{2}}{2}]_{0}^{π /2} = \frac{1}{2} (\frac{π ^{2}}{4} - \frac{π ^{2}}{8}) = \frac{π ^{2}}{16}

である。よって $\frac{π ^{2}}{16}$ である。

東北大学 1991年度文系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1991年度
文系数学前期第3問