東北大学 1990年度
後期・文系数学 後期 第4問
- 試験区分
- 後期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文系
- 分野
- 関数、数列
- 解法
- 不等式評価、帰納的定義の利用、範囲評価
- 難易度
- 7 / 10 計算量 5 / 10 目安 —
問題
関数f(x)=25x(1−x)について考える．
(1) 52<x<54，x=53のとき，不等式−1<x−53f(x)−53<0が成り立つことを示せ．
(2) 数列{an}を
x0=21,xn+1=f(xn)(n=0,1,2,⋯⋯)
により定義する．
x0<x2<⋯⋯<x2k<x2k+2<⋯⋯<53<⋯⋯<x2k+3<x2k+1<⋯⋯<x3<x1
となることを示せ．
出典：東北大学 1990年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第4問
方針
(1)は f(x)−53 を因数分解し、比を一次式に直すだけで示せる。(2)は xn−53 の符号と絶対値の変化を見る。前問の不等式から、次の項は 53 を挟んで反対側へ移り、しかも距離は縮む。初めの2項の位置を確認して、偶数番目は下から増加、奇数番目は上から減少することを示す。
解答
(1)
まず f(x)−53=25x(1−x)−53 を因数分解する。展開して整理すると f(x)−53=−25(x−53)(x−52) である。したがって x=53 のとき x−53f(x)−53=−25(x−52) である。
いま 52<x<54 だから 0<x−52<52 であり、両辺に −25 を掛けると不等号の向きが変わって −1<−25(x−52)<0 となる。よって −1<x−53f(x)−53<0 である。
(2)
まず x0=21 なので 52<x0<53 である。また x1=f(21)=25⋅21⋅21=85 だから 53<x1<54 である。
ここで、52<xn<54、xn=53 が成り立つとする。(1)より −1<xn−53xn+1−53<0 である。したがって xn+1−53 は xn−53 と符号が反対で、しかも絶対値は小さくなる。すなわち 0<xn+1−53<xn−53 である。
このことから、x0 が 53 より小さく、x1 が 53 より大きいので、偶数番目は常に 53 より小さく、奇数番目は常に 53 より大きい。また距離が毎回小さくなるため、偶数番目は増加し、奇数番目は減少する。したがって
x0<x2<⋯<x2k<x2k+2<⋯<53<⋯<x2k+3<x2k+1<⋯<x3<x1
が成り立つ。
