問題
図形
について，次の問に答えよ．
(1) 図形を原点のまわりにだけ回転した図形の方程式を求めよ．
(2) 図形を円に移す1次変換を表す行列
で，点を点に移すものを求めよ．
出典：東北大学 1990年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第1問
方針
(1)は回転後の座標を置き、元の座標を逆向きに30度戻して二次式へ代入する。(2)は(1)で楕円の主軸が見えたことを使い、まず円へ移す標準的な拡大縮小を作る。さらに点 の移る先と、行列式が正である条件から向きを決める。最後に行列で条件を直接確認する。
解答
(1)
回転後の座標を とする。図形を原点のまわりに30度だけ回転した後の点 に対応する元の点 は、逆に30度戻して である。これを へ代入する。
各項をまとめると であるから、回転後の図形の方程式は である。座標名を に戻せば である。
(2)
(1)の結果から、30度回転後の座標 では図形は である。したがって、まず30度回転後の座標を取り、さらに 成分を3分の1にすれば円 に移る。
元の座標 に対して であるから、候補となる1次変換は である。よって行列は
である。
条件を確認する。まず
である。また
である。さらに なので、図形 上では となる。したがって求める行列は
である。