東北大学 1990年度
後期・文系数学 後期 第2問
- 試験区分
- 後期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文系
- 分野
- 積分、微分
- 解法
- 面積計算、場合分け、微分による最大最小
- 難易度
- 6 / 10 計算量 6 / 10 目安 —
問題
aを0<a<1なる数とし，2つの放物線
C1:y=−3x2,C2:y=3x2−18ax+12a2
によって囲まれる図形のx≦1の部分の面積をSとする．
(1) 0<a≦21のとき，Sをaで表せ．
(2) 21<a<1のとき，Sをaで表せ．
(3) 0<a<1におけるSの最大値と，そのときのaを求めよ．
出典：東北大学 1990年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第2問
方針
2つの放物線の交点を先に求め、どちらが上にあるかを差で確認する。囲まれる部分は x=a から x=2a までだが、問題では x≦1 の部分だけを取るため、2a≦1 と 2a>1 で積分区間が変わる。最後は2つの式をそれぞれの範囲で最大化し、端点の値も比較する。
解答
2つの放物線の交点を求める。交点では −3x2=3x2−18ax+12a2 であるから 6x2−18ax+12a2=0 すなわち (x−a)(x−2a)=0 である。したがって交点の x 座標は x=a,x=2a である。
また、上下の差は C1−C2=−3x2−(3x2−18ax+12a2)=−6(x−a)(x−2a) である。a<x<2a では (x−a)(x−2a)<0 だから、C1 が C2 の上にある。
(1)
0<a≦21 のときは 2a≦1 であり、囲まれる図形全体が x≦1 に含まれる。よって S=∫a2a−6(x−a)(x−2a)dx である。x=a+t とおくと 0≦t≦a で −6(x−a)(x−2a)=−6t(t−a)=6t(a−t) だから S=∫0a6t(a−t)dt=6[2at2−31t3]0a=a3 である。
(2)
21<a<1 のときは a<1<2a であるから、条件 x≦1 によって右端は x=1 になる。したがって S=∫a1−6(x−a)(x−2a)dx である。原始関数を求めると ∫−6(x−a)(x−2a)dx=−2x3+9ax2−12a2x なので S=[−2x3+9ax2−12a2x]a1 である。整理して S=−2+9a−12a2+5a3 となり、これは S=(a−1)2(5a−2) である。
(3)
0<a≦21 では S=a3 なので、この範囲での最大値は a=21 のとき S=81 である。 21<a<1 では S=(a−1)2(5a−2) である。微分すると S′=2(a−1)(5a−2)+5(a−1)2 であり、S′=3(a−1)(5a−3) となる。21<a<1 では、a=53 を境に S′ は正から負に変わる。したがってこの範囲での最大は a=53 であり、S=(−52)2⋅1=254 である。254>81 なので、全体の最大値は 254 であり、そのとき a=53 である。
