東北大学 1990年度
後期・文系数学 後期 第3問

解答

放物線 $y^2=x$ 上の点を $P=(u^2,u)$ とおく。$P\ne O$ より $u\ne 0$ である。また、放物線 $y=x^2$ 上の点を $Q=(v,v^2)$ とおく。$Q\ne O$ より $v\ne 0$ である。

直交条件 $\overrightarrow{OP}\perp \overrightarrow{OQ}$ より $(u^2,u)\cdot (v,v^2)=u^{2}v+u{v}^2=uv(u+v)=0$ である。$u\ne 0$、$v\ne 0$ だから $v=-u$ である。したがって $Q=(-u,u^2)$ である。

次に、$y=x^2$ の $x=v=-u$ における接線を求める。接線の傾きは $2v=-2u$ なので $y-u^2=-2u(x+u)$ すなわち $y=-2ux-u^2$ である。これと $x$ 軸との交点は $y=0$ として $-2ux-u^2=0$ より $R=\left(-\frac{u}{2},0\right)$ である。

いま $\overrightarrow{OR}=p\overrightarrow{OP}+q\overrightarrow{OQ}$ だから、成分比較により $-\frac{u}{2}=p{u}^2-qu,0=pu+q{u}^2$ である。第2式を $u\ne 0$ で割ると $p+qu=0$ すなわち $p=-qu$ である。これを第1式に代入して $u$ で割ると $-\frac{1}{2}=pu-q=-q{u}^2-q=-q(1+u^2)$ となる。よって $q=\frac{1}{2(1+u^2)},p=-\frac{u}{2(1+u^2)}$ である。

この表示から $p^2=\frac{u^2}{4(1+u^2{)}^2}$ であり、また

である。したがって $p^2=q\left(\frac{1}{2}-q\right)$ である。これを平方完成すると $p^2+{\left(q-\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{1}{16}$ である。

さらに $u\ne 0$ なので $0<q<\frac{1}{2}$ である。よって点 $(p,q)$ の描く図形は、中心 $(0,\frac{1}{4})$、半径 $\frac{1}{4}$ の円のうち、2点 $(0,0),\left(0,\frac{1}{2}\right)$ を除いた部分である。