東北大学 1990年度文系数学前期第4問解答・解説

問題

正の数から成る数列 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots\dots$ の一般項 $a_{n}$ と，初項から第 $n$ 項までの和 $S_{n}$ の間に，

k = 1 \sum n \frac{4 S _{k}}{a _{k} + 2} = S_{n}

という関係があるものとする． $a_{n}$ と $S_{n}$ を求めよ．

出典：東北大学 1990年度前期日程第2次学力試験文系前期第4問

方針

与式をそのまま扱うのではなく、 $n$ の式から $n - 1$ の式を引いて1項だけを取り出す。すると $S_{n}$ と $a_{n}$ の関係式が得られるので、さらに $S_{n} - S_{n - 1} = a_{n}$ を用いて $a_{n}$ の漸化式に直す。正の数列であることにより符号の候補を1つに絞り、初項から一般項を決める。

解答

与式を $n$ について書くと $\sum_{k = 1}^{n} \frac{4 S _{k}}{a _{k} + 2} = S_{n}$ である。 $n - 1$ についても同じ式が成り立つので、両者を引くと $\frac{4 S _{n}}{a _{n} + 2} = S_{n} - S_{n - 1} = a_{n}$ を得る。したがって $4 S_{n} = a_{n} (a_{n} + 2)$ である。

まず $n = 1$ では $S_{1} = a_{1}$ だから $4 a_{1} = a_{1} (a_{1} + 2)$ である。 $a_{1} > 0$ より両辺を $a_{1}$ で割って $4 = a_{1} + 2$ となり、 $a_{1} = 2$ である。

次に $n ≧ 2$ とする。上の関係式から $4 S_{n} = a_{n}^{2} + 2 a_{n}$ であり、また $S_{n - 1} = S_{n} - a_{n}$ なので $4 S_{n - 1} = 4 S_{n} - 4 a_{n} = a_{n}^{2} - 2 a_{n}$ である。一方、同じ関係式を $n - 1$ に用いると $4 S_{n - 1} = a_{n - 1} (a_{n - 1} + 2) = a_{n - 1}^{2} + 2 a_{n - 1}$ である。したがって $a_{n}^{2} - 2 a_{n} = a_{n - 1}^{2} + 2 a_{n - 1}$ であり、 $(a_{n} - 1)^{2} = (a_{n - 1} + 1)^{2}$ となる。ここで $a_{n} > 0$ 、 $a_{n - 1} > 0$ であるから、もし $a_{n} - 1 = - (a_{n - 1} + 1)$ なら $a_{n} = - a_{n - 1} < 0$ となって不可能である。よって $a_{n} - 1 = a_{n - 1} + 1$ すなわち $a_{n} = a_{n - 1} + 2$ である。

初項 $a_{1} = 2$ だから $a_{n} = 2 n$ である。したがって $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = 2 (1 + 2 + \dots + n) = n (n + 1)$ である。

東北大学 1990年度文系数学 前期 第4問

問題

方針

解答

東北大学 1990年度
文系数学前期第4問