問題
行列（，，，は実数）について，次の問に答えよ．
(1) （は実数）で，実数，が等式
を満たすとき，，を，，，で表せ．ここでは単位行列，は零行列を表すものとする．
(2) が，を満たせば，は逆行列をもち，となることを示せ．
出典：東北大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
(1)は2次行列が自分の2次式を満たす恒等式を成分比較で作る。ただし でない条件により、 と の係数比較ができることを明記する。(2)はまず の場合を除き、(1)の関係式と を組み合わせて を導く。最後に が逆行列であることを積で示す。
解答
(1)
とする。直接計算すると
である。ここで の各成分を見ると、左上は であり、右上、左下もそれぞれ 、右下も となる。したがって である。
いま も成り立つので、2式を引くと となる。もし なら は単位行列の実数倍になってしまい、仮定に反する。よって であり、続いて である。
(2)
まず と仮定すると、 から となる。実数 について だから であり、これは となって仮定に反する。したがって は単位行列の実数倍ではなく、(1)を用いることができる。
(1)より ただし 、 である。この式に右から を掛けると である。 を代入して を得る。さらに を用いると すなわち である。 は単位行列の実数倍でないから が必要である。ここで なら 、また なら となり実数では不可能である。よって である。したがって すなわち である。よって となるから、 は逆行列をもち である。