問題
平面の第1象限において，曲線と軸，軸によって囲まれる図形を，直線のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
出典：東北大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第1問
方針
軸が直線 なので、軸方向の座標 、軸に垂直な座標 に直して、固定した での断面を調べる。曲線は軸対称だが、途中から断面が円板ではなく穴のある円環になるため、外半径と内半径を分けるのが決定的である。最後は断面積を で積分して体積を求める。
解答
軸方向、軸に垂直な方向の座標を とおく。このとき であり、第1象限の条件は である。
固定した に対して、直線 上の点が領域に入る条件を調べる。 とおくと、曲線上では である。両辺を2乗すると となるので、曲線との交点があるためには である。
まず 、すなわち のときは、線分 、、 の全体が領域に含まれる。したがって回転断面は半径 の円板で、面積は である。
次に 、すなわち のときを考える。曲線との交点は を満たすので、2つの交点の 座標の差は である。よって軸から曲線までの内半径の2乗は である。一方、外半径は第1象限の端点までの距離なので である。したがってこの範囲の断面積は である。
以上より体積 は
となる。第1項は であり、第2項は
である。したがって である。