東北大学 1990年度文系数学前期第3問解答・解説

問題

実数 $a$ ， $b$ $((a, b) \neq = (0, 0))$ に対して， $T = (a b - b a)$ で定められる行列を考える．

(1) $v$ を平面上の $0$ でないベクトルとするとき，ベクトルの大きさの比 $\frac{∣ T v ∣}{∣ v ∣}$ を $a$ ， $b$ を使って表せ．

(2) 行列の集合 ${T^{n} ∣ n = 0, 1, 2, \dots\dots}$ が有限集合となるとき， $T$ は回転の行列であることを示せ．ただし， $T^{0}$ は単位行列 $E$ を表すものとする．

(3) ${T^{n} ∣ n = 0, 1, 2, \dots\dots}$ が2個の要素からなるように $a$ ， $b$ を定めよ．

出典：東北大学 1990年度前期日程第2次学力試験文系前期第3問

方針

この行列は、どのベクトルも同じ倍率 $a^{2} + b^{2}$ で長さを変え、同じ角だけ向きを変える形である。(1)で倍率を求め、(2)では有限個のべきの中に同じものが現れることから、ある正の整数乗が単位行列になると見る。すると倍率のべきが1になるので倍率は1であり、回転行列になる。(3)は回転を2回で単位行列に戻す条件を調べる。

解答

(1)

$v = (x, y)$ とおく。ただし $(x, y) \neq = (0, 0)$ である。このとき $T v = (a x - b y, b x + a y)$ であるから $∣ T v ∣^{2} = (a x - b y)^{2} + (b x + a y)^{2}$ となる。右辺を展開すると $a^{2} x^{2} - 2 ab x y + b^{2} y^{2} + b^{2} x^{2} + 2 ab x y + a^{2} y^{2} = (a^{2} + b^{2}) (x^{2} + y^{2})$ である。したがって $\frac{∣ T v ∣}{∣ v ∣} = a^{2} + b^{2}$ である。

(2)

$(a, b) \neq = (0, 0)$ なので $det T = a^{2} + b^{2} > 0$ であり、 $T$ は逆行列をもつ。集合 ${T^{n} ∣ n = 0, 1, 2, \dots}$ が有限なら、ある整数 $m > n$ について $T^{m} = T^{n}$ である。両辺に $T^{n}$ の逆行列を掛けると $T^{m - n} = E$ となる。

(1)より、 $T$ を1回作用させるとベクトルの長さは $r = a^{2} + b^{2}$ 倍になる。したがって $T^{m - n} = E$ では長さの倍率が $r^{m - n} = 1$ でなければならない。 $r > 0$ だから $r = 1$ である。よって $a^{2} + b^{2} = 1$ となるので、ある実数 $θ$ を用いて $a = cos θ, b = sin θ$ と書ける。したがって

T = (cos θ sin θ - sin θ cos θ)

であり、これは原点のまわりの回転を表す行列である。

(3)

要素が2個であるためには、 $T \neq = E$ かつ $T^{2} = E$ でなければならない。(2)より $T$ は回転行列であるから、回転角を $θ$ とすると、 $T^{2} = E$ は $2 θ$ が1回転の整数倍であることを意味する。さらに $T \neq = E$ だから、回転角は半回転である。すなわち $cos θ = - 1, sin θ = 0$ である。よって $a = - 1, b = 0$ である。

別解。 $T$ の作用を、平面上の点 $(x, y)$ を $(a x - b y, b x + a y)$ に移す操作として見ると、(1)からすべての点の原点からの距離は同じ倍率で変わる。もし倍率が1でなければ、同じ点に $T, T^{2}, T^{3}, \dots$ を順に作用させたときの原点からの距離が無限に多くの値を取る。有限集合になるには倍率が1しかありえず、このとき行列は回転行列である。

東北大学 1990年度文系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 1990年度
文系数学前期第3問