東北大学 1989年度
文系数学 前期 第4問

解答

【(1)】DB本文では条件が $a<0$ となっている。この条件のまま調べる。

図形 $A$ は $\frac{1}{4}{x}^2+x+1\leqq y\leqq x+2$ で定められる。上下の境界が交わるのは $x+2=\frac{1}{4}{x}^2+x+1$ すなわち $1=\frac{1}{4}{x}^2$ より $x=\pm 2$ である。したがって $A$ の面積は

である。面積比が1対2になるには、一方の面積が $\frac{1}{3}\cdot \frac{8}{3}=\frac{8}{9}$ でなければならない。

直線 $y=ax+1$ と上側の直線 $y=x+2$ の交点の $x$ 座標は $ax+1=x+2⟺x=\frac{1}{a-1}$ である。また下側の放物線とは $ax+1=\frac{1}{4}{x}^2+x+1$ すなわち $x\left(\frac{1}{4}x+1-a\right)=0$ で交わる。$a<0$ ではもう一つの交点 $x=4(a-1)$ は $-4$ より小さいので、図形 $A$ の内部に関係する交点は $x=0$ だけである。

したがって直線が切り取る小さい部分の面積は

$a<0$ の範囲では、$a$ を $0$ に近づけるとこの値は $5/12$ に近づき、そこを超えない。実際 $T(a)<\frac{5}{12}<\frac{8}{9}$ である。よって、DB本文の条件 $a<0$ のままでは、図形 $A$ の面積を1対2に分ける直線は存在しない。

【(2)】(1)で該当する $a$ が存在しないため、DB本文の条件のままでは回転体の体積 $V$ は定まらない。したがって $V/\pi$ に一番近い整数も定義されない。