東北大学 1989年度文系数学前期第3問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ が $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = 0$ ， $a_{n + 2} - 2 a_{n + 1} + a_{n} = 2 n - 8$ $(n = 1, 2, 3, \dots\dots)$ で定義されているとする．

(1) 一般項 $a_{n}$ を求めよ．

(2) $a_{n}$ が最小となる $n$ ，および，その最小値 $a_{n}$ を求めよ．

出典：東北大学 1989年度前期日程第2次学力試験文系前期第3問

方針

2階差分なので、まず $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ とおいて1階の差分に落とす。 $b_{n}$ を求めたら和をとって $a_{n}$ を出す。最小値は一般項を微分的に見るのではなく、整数列として $a_{n + 1} - a_{n} = b_{n}$ の符号変化を調べるのが確実である。

解答

【(1)】 $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ とおく。与えられた漸化式は $(a_{n + 2} - a_{n + 1}) - (a_{n + 1} - a_{n}) = 2 n - 8$ であるから $b_{n + 1} - b_{n} = 2 n - 8$ となる。また $b_{1} = a_{2} - a_{1} = 0 - 2 = - 2$ である。

したがって

b_{n} = b_{1} + k = 1 \sum n - 1 (2 k - 8) = - 2 + 2 \cdot \frac{( n - 1 ) n}{2} - 8 (n - 1) = n^{2} - 9 n + 6.

よって $a_{n} = a_{1} + \sum_{k = 1}^{n - 1} b_{k} = 2 + \sum_{k = 1}^{n - 1} (k^{2} - 9 k + 6)$ である。和の公式を用いると

a_{n} = 2 + \frac{( n - 1 ) n ( 2 n - 1 )}{6} - 9 \frac{( n - 1 ) n}{2} + 6 (n - 1) = \frac{( n - 2 ) ( n ^{2} - 13 n + 6 )}{3} .

【(2)】 $a_{n + 1} - a_{n} = b_{n} = n^{2} - 9 n + 6$ である。2次式 $n^{2} - 9 n + 6$ の根は $\frac{9 - 57}{2}, \frac{9 + 57}{2}$ であり、整数 $n$ については $b_{n} < 0 (1 ≦ n ≦ 8), b_{n} > 0 (n ≧ 9)$ となる。つまり $a_{n}$ は $n = 1$ から $n = 9$ まで減少し、その後増加する。したがって最小となるのは $n = 9$ である。このとき $a_{9} = \frac{( 9 - 2 ) ( 9 ^{2} - 13 \cdot 9 + 6 )}{3} = \frac{7 ( 81 - 117 + 6 )}{3} = - 70.$ よって最小値は $- 70$ である。

東北大学 1989年度文系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

東北大学 1989年度
文系数学前期第3問