問題
を原点とし，放物線上に2点とをとなるようにとる．次の問に答えよ．
(1) とが上を動くとき，線分の中点はどのような曲線上を動くか．
(2) 直角三角形の面積がとり得る範囲を求めよ．
出典：東北大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第1問
方針
放物線を媒介変数で表し、直交条件を内積で処理する。点を , とおくと、 は という単純な条件になる。中点は と で表し、面積は行列式で出して の下限を読む。
解答
【(1)】放物線 上の点は、実数 を用いて と表せる。同様に とおく。 であるから、 と は垂直であり、 である。 は角を作る点なので原点ではなく、, と考えてよい。したがって である。
中点を とすると である。ここで だから
逆に任意の実数 に対し、, を満たす実数 は存在する。よって は放物線 上を動く。
別解。 を中心とする極座標で , とし、2本の半直線の傾きを直交するものとして扱ってもよい。放物線上の条件から各半直線と の交点距離が傾きで決まり、中点を消去すると同じく に帰着する。媒介変数法の方が計算は短い。
【(2)】直角三角形 の面積を とすると
より である。また だから したがって 等号は 、すなわち , などのときに実現する。一方、 を大きくすれば もいくらでも大きくなる。よって面積の範囲は である。