問題
(1) 球の平面による切り口である円の中心と半径を求めよ．
(2) 円上のすべての点からの距離がである点を求めよ．
出典：東北大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
球を平方完成して中心と半径を出し、切り口の中心は球の中心を平面に垂直に下ろした点として求める。半径は三平方の定理でよい。後半は、円周上のすべての点までの距離が等しい点は、円の中心を通り平面に垂直な直線上に限られることを使い、円の半径4と求める距離 から中心からの距離を決める。
解答
【(1)】球の方程式を平方完成すると は となる。したがって球の中心は で、半径は である。
平面を と書く。この平面の法線ベクトルは である。中心 での平面の左辺の値は だから、中心から平面までの距離は である。切り口の円 の中心 は、 を平面へ垂直に下ろした点であり、
切り口の半径を とすると、球の半径、中心から平面までの距離、切り口の半径で直角三角形ができるので よって半径は である。
【(2)】円 上のすべての点からの距離が等しい点は、円の中心 を通り、円のある平面に垂直な直線上にある。したがって求める点を とおく。
円 の半径は であるから、 から円周上の点までの距離の2乗は である。これが に等しいので すなわち である。よって であり、求める点は である。