問題
を満たす整数，の組でが有理数となるものをすべて求めよ．
出典：東北大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第4問
方針
が有理数であることを と書き換える。互いに素な を使うと、素因数分解の指数が比例するため、、 と同じ整数 のべきで表せる。条件 から かつ を得て、 が2乗以上のべきである場合だけを列挙する。
解答
が有理数であるとする。 なので である。そこで とおく。ただし は互いに素な自然数である。このとき である。
ここで素因数分解を考える。 で が互いに素なので、 と は同じ整数 を用いて と表せる。さらに であるから である。
また より である。 なら は となり、自然数 が存在しない。したがって であり、 となる候補を調べればよい。 、、 から だけが候補になる。 のとき、 であり、 だから である。よって を得る。 のとき、 であり、 だから である。よって を得る。 のとき、 であり、 だから である。よって を得る。
以上より候補は である。実際に
であり、すべて条件 を満たす。したがって答えは である。