東北大学 1988年度
文系数学 前期 第3問

解答

(1)

$(X,Y)=A(x,y)$ とおく。すなわち $X=ax+by,Y=cx+dy$ である。点 $(x,y)$ が $xy=1$ 上にあるので、$y=\frac{1}{x}$ と書ける。条件はすべての $x\ne 0$ に対して $X^2-Y^2=2$ が成り立つことである。

実際に代入すると $X=ax+\frac{b}{x},Y=cx+\frac{d}{x}$ であるから

これが常に2であるためには $a^2-c^2=0,b^2-d^2=0,2(ab-cd)=2$ が必要十分である。したがって $c=\pm a,d=\pm b$ であり、さらに $ab-cd=1$ である。

もし $c$ と $d$ の符号の取り方が同じなら $cd=ab$ となり、$ab-cd=0$ で条件を満たさない。よって符号は反対でなければならない。このとき $ab-cd=2ab=1$ となるので $b=\frac{1}{2a}$ である。ここで $a=0$ はあり得ない。したがって求める行列は

または

である。ただし $a\ne 0$ である。

(2)

(1)で得た2種類を調べる。まず

とする。このとき $2ab=1$ であり、$\det A=-2ab=-1$ だから

である。この逆変換も (1) と同じ条件を満たすには、上の係数比較より $b^2-a^2=0,b^2+a^2=1$ でなければならない。したがって $a^2=b^2=\frac{1}{2}$ である。さらに $b=\frac{1}{2a}$ なので、$a=\frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき $b=\frac{1}{\sqrt{2}}$、$a=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき $b=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ である。よって

または

を得る。

次に

とする。このとき $\det A=2ab=1$ であり、

である。同じ係数比較をこの行列に適用すると、まず $b^2-a^2=0$ が必要になるが、そのとき定数項は $2\{b(-b)-a^2\}=-2(b^2+a^2)<0$ となり、2にはなり得ない。したがってこの場合は不可能である。

以上より、求める行列は

である。

補足。最初の係数比較では、$x^2$ と $x^{-2}$ の係数を0にし、定数項を2にするという3条件を同時に使う。ここを一つでも落とすと、余分な行列を含めてしまう。