問題
3次関数はで極小値0，で極大値32をとる．
(1) を求めよ．
(2) 点における曲線の接線がふたたびと交わる点をとする．点が上をからまで動くとき，ととの距離の最大値を求めよ．
出典：東北大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
極値をもつ点から と置き、2つの極値の差で を決める。接線と曲線の再交点は の因数分解から求める。距離は直線 との距離公式を使い、 で の最大を微分で調べる。別解として、接線からの縦方向の差を先に最大化してから距離に直す見方も有効である。
解答
(1)
で極小、 で極大をとるので、3次関数 の導関数は と書ける。ただし、極大から極小へ下がるため となるはずである。積分すると である。ここで かつ である。条件 、 より だから である。すなわち より である。さらに から なので である。したがって である。
(2)
である。また だから である。したがって点 における接線 は である。
曲線 と接線 の交点を調べるため、差をとると である。 は接点なので重解になり、再び交わる点は である。よって が から まで動くとき、 は を動く。
点 と直線 との距離を とすると
である。 では だから したがって の最大値を で求めればよい。 であるから、端点と停留点を合わせて候補は である。値は なので最大値は4である。よって求める距離の最大値は である。
別解。曲線と接線の鉛直方向の差は であり、直線 の傾きは で固定されている。したがって、実際の距離は鉛直方向の差に一定係数 を掛けたものになる。つまり、距離最大は鉛直方向の差の最大と同じ で起こる。