東北大学 1988年度文系数学前期第1問解答・解説

問題

四面体 $O A B C$ において， $O A = a$ ， $O B = b$ ， $O C = c$ とし， $G$ を三角形 $A B C$ の重心，すなわち $O G = \frac{a + b + c}{3}$ とする．

(1) $O G = g$ とおいて， $A G^{2}$ を $a$ ， $g$ および内積を用いて表せ．

(2) $O A^{2} + O B^{2} + O C^{2} = A G^{2} + B G^{2} + C G^{2} + 3 O G^{2}$ を示せ．

(3) 三角形 $O A B$ の重心を $E$ とする． $O F = \frac{3}{4} O G$ によって点 $F$ を定めるとき， $F$ は直線 $C E$ 上にあることを示せ．

出典：東北大学 1988年度前期日程第2次学力試験文系前期第1問

方針

重心の位置ベクトルを使って、各線分の二乗を内積で展開する。 $a + b + c = 3 g$ が決定的な関係であり、(2)では展開後の一次項が $3 g$ にまとまる。最後は三角形 $O A B$ の重心 $E$ の位置ベクトルを出し、 $F = C + λ (E - C)$ の形に書けることを示せば、 $F$ が直線 $C E$ 上にあると分かる。

解答

(1)

$O G = g$ とおく。点 $A$ から点 $G$ へのベクトルは

A G = O G - O A = g - a

である。したがって $A G^{2} = (g - a) \cdot (g - a)$ であり、展開して $A G^{2} = a \cdot a - 2 a \cdot g + g \cdot g$ である。

(2)

(1)と同様に、

A G^{2} = ∣ a - g ∣^{2}, B G^{2} = ∣ b - g ∣^{2}, C G^{2} = ∣ c - g ∣^{2}

である。これらを加えると

A G^{2} + B G^{2} + C G^{2} = (a \cdot a + b \cdot b + c \cdot c) - 2 (a + b + c) \cdot g + 3 g \cdot g .

ここで $a + b + c = 3 g$ だから

- 2 (a + b + c) \cdot g + 3 g \cdot g = - 6 g \cdot g + 3 g \cdot g = - 3 g \cdot g .

したがって $A G^{2} + B G^{2} + C G^{2} = O A^{2} + O B^{2} + O C^{2} - 3 O G^{2}$ である。移項して $O A^{2} + O B^{2} + O C^{2} = A G^{2} + B G^{2} + C G^{2} + 3 O G^{2}$ を得る。

(3)

三角形 $O A B$ の重心を $E$ とすると $O E = \frac{a + b}{3}$ である。また

O F = \frac{3}{4} O G = \frac{3}{4} \cdot \frac{a + b + c}{3} = \frac{a + b + c}{4}

である。

一方、点 $C$ から点 $E$ に向かって $\frac{3}{4}$ だけ進んだ点の位置ベクトルは

O C + \frac{3}{4} (O E - O C) = c + \frac{3}{4} (\frac{a + b}{3} - c)

である。これを整理すると

c + \frac{a + b}{4} - \frac{3 c}{4} = \frac{a + b + c}{4} = O F .

したがって

O F = O C + \frac{3}{4} (O E - O C)

である。これは $F$ が直線 $C E$ 上、さらに線分 $C E$ 上にあることを表している。

別解。 $F$ の位置ベクトルは $O F = \frac{1}{4} a + \frac{1}{4} b + \frac{1}{4} c$ である。一方、 $E$ は $O, A, B$ の平均位置なので、 $F$ は $C$ と $E$ を $C F : F E = 3 : 1$ に内分する点である。内分点の公式からも $F \in C E$ が分かる。

東北大学 1988年度文系数学 前期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 1988年度
文系数学前期第1問