東北大学 1987年度文系数学前期第4問解答・解説

問題

単位円上の点 $(a, b)$ $(a^{2} + b^{2} = 1)$ から，放物線 $y = x^{2}$ へ異なる2本の接線が引けるとき，この2本の接線と $y = x^{2}$ で囲まれた図形の面積を最大にしたい．このような点 $(a, b)$ を求めよ．

出典：東北大学 1987年度前期日程第2次学力試験文系前期第4問

方針

放物線 $y = x^{2}$ の接点を $x = t$ とすると接線は $y = 2 t x - t^{2}$ である。点 $(a, b)$ を通る条件から、接点の $t$ は2次方程式 $t^{2} - 2 a t + b = 0$ の2根になる。2本の接線と放物線で囲まれる面積は、接点間隔 $∣ t_{1} - t_{2} ∣$ の3乗に比例し、具体的に $\frac{∣ t _{1} - t _{2} ∣ ^{3}}{12}$ である。したがって単位円上で $a^{2} - b$ を最大化し、2本の接線が異なる条件も確認する。

解答

放物線 $y = x^{2}$ の $x = t$ における接線は $y = 2 t x - t^{2}$ である。この接線が点 $(a, b)$ を通る条件は $b = 2 t a - t^{2}$ すなわち $t^{2} - 2 a t + b = 0$ である。したがって、点 $(a, b)$ から引ける接線の接点の $x$ 座標を $t_{1}, t_{2}$ とすると、 $t_{1}, t_{2}$ はこの2次方程式の2根である。異なる2本の接線が引ける条件は $t_{1} \neq = t_{2}$ である。

ここで、2本の接線と放物線で囲まれる面積を $t_{1}, t_{2}$ で表す。 $t_{1} < t_{2}$ とする。2本の接線の交点の $x$ 座標は、 $2 t_{1} x - t_{1}^{2} = 2 t_{2} x - t_{2}^{2}$ より $x = \frac{t _{1} + t _{2}}{2}$ である。したがって面積は

\int_{t_{1}}^{(t_{1} + t_{2}) /2} {(2 t_{1} x - t_{1}^{2}) - x^{2}} d x + \int_{(t_{1} + t_{2}) /2}^{t_{2}} {(2 t_{2} x - t_{2}^{2}) - x^{2}} d x

の絶対値であり、計算すると $\frac{( t _{2} - t _{1} ) ^{3}}{12}$ である。よって面積を最大にするには $∣ t_{1} - t_{2} ∣$ を最大にすればよい。

2次方程式の根の差について $(t_{1} - t_{2})^{2} = (t_{1} + t_{2})^{2} - 4 t_{1} t_{2} = (2 a)^{2} - 4 b = 4 (a^{2} - b)$ である。したがって $a^{2} - b$ を単位円 $a^{2} + b^{2} = 1$ の上で最大にすればよい。 $a^{2} = 1 - b^{2}$ より $a^{2} - b = 1 - b^{2} - b = \frac{5}{4} - (b + \frac{1}{2})^{2}$ である。これは $b = - \frac{1}{2}$ のとき最大値 $\frac{5}{4}$ をとる。このとき $a^{2} = 1 - b^{2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ なので $a = \pm \frac{3}{2}$ である。さらに $a^{2} - b = \frac{5}{4} > 0$ だから、接線は確かに異なる2本である。

よって求める点は

(\frac{3}{2}, - \frac{1}{2}), (- \frac{3}{2}, - \frac{1}{2})

である。

東北大学 1987年度文系数学 前期 第4問

問題

方針

解答

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文系数学前期第4問