問題
，を実数とする．
(1) 行列で表される1次変換は，平面の原点を1つの頂点とする任意の三角形をこれと面積の等しい三角形にうつす．，の満たすべき条件を求めよ．
(2) (1)の条件のもとで，によって点にうつされる点の座標が最大になるときの，の値を求めよ．
(3) (2)の条件のもとで，点，，に対して，正方形は，によって，どのような図形にうつるか．図示せよ．
出典：東北大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第1問
方針
行列 は複素数の掛け算と同じ形で、長さを 倍し、面積を 倍する。任意の三角形の面積が保たれる条件はこの倍率が1であること。(2)では の移る前の点を求め、 の円周上で一次式 を最大化する。(3)では得られた行列が回転を表すことを確認し、3頂点の移り先を計算して正方形を図示できる形にする。
解答
(1)
行列 は第1行が 、第2行が の行列である。この1次変換による面積の倍率は、行列式の絶対値 である。原点を1頂点とする任意の三角形の面積が保たれるためには、この倍率が1でなければならず、またこの条件で十分である。したがって である。
(2)
(1)の条件のもとでは なので、逆変換を表す行列は第1行が 、第2行が の行列である。点 が によって に移されるとすると、 である。したがって求める点の 座標は である。
条件 のもとで、コーシーの不等式より である。等号は が と同じ向きの単位ベクトルであるとき、すなわち のとき成り立つ。
(3)
(2)の値を代入すると、 は で表される。これは長さと角を保つ回転である。各頂点の移り先は である。したがって正方形 は、原点を1頂点とし、辺の長さが1のまま、時計回りに角 だけ回転した合同な正方形に移る。図示では上の4点を順に結べばよい。