問題
をだ円とする．点を通る直線で，の2つの焦点を結ぶ線分と交わり，との2つの交点の座標の差の絶対値が1となるものをすべて求めよ．
出典：東北大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
楕円の焦点は 軸上にあるので、焦点を結ぶ線分は 上の区間である。点 を通る直線を とおき、楕円へ代入して交点の 座標を2次方程式の2根として扱う。根の差の絶対値は判別式と2次係数で表せる。最後に、直線が焦点間の線分と交わるためには 軸との交点が焦点間にある、という追加条件で候補を絞る。
解答
楕円 は である。長半径の2乗は 、短半径の2乗は なので、焦点は である。したがって焦点を結ぶ線分は で表される。
点 を通る直線を とおく。垂直線 は楕円との交点の 座標の差が0なので条件を満たさない。楕円に代入すると であり、整理して を得る。この2根を とすると、根の差の2乗は である。ただし判別式は である。条件 より となる。整理すると である。したがって である。
次に、直線が焦点を結ぶ線分と交わる条件を調べる。 軸との交点は より である。これが焦点間の線分上にあるためには すなわち が必要十分である。候補のうち はこれを満たさず、 だけが残る。
よって求める直線は である。