東北大学 1987年度
文系数学 前期 第3問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文系
- 分野
- 数列
- 解法
- 漸化式の変形、和の計算
- 難易度
- 5 / 10 計算量 4 / 10 目安 10分
問題
初項a1=r（rは定数）として，数列{an}を次の式で帰納的に定義する．
ak+1=rak−(r−1)2k(k=1,2,3,⋯⋯)
k=1∑nakを求めよ．
出典：東北大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第3問
方針
漸化式の右辺に k が一次式で入っているので、ak も k の一次式になると見て特解を探す。実際に ak=(r−1)k+1 が初項と漸化式を満たすことを帰納法で確認すればよい。最後は等差数列の和に帰着する。別解として、ak−((r−1)k+1) を置くと同次漸化式になり、ずれが常に0であることも分かる。
解答
漸化式は ak+1=rak−(r−1)2k である。右辺が k の一次式を含むので、ak が k の一次式になると予想する。
実際、ak=(r−1)k+1 とおくと、初項は a1=(r−1)+1=r となり、与えられた a1=r と一致する。また、この式が k で成り立つとすると
rak−(r−1)2k=r{(r−1)k+1}−(r−1)2k={r(r−1)−(r−1)2}k+r=(r−1)k+r=(r−1)(k+1)+1.
したがって ak+1=(r−1)(k+1)+1 である。数学的帰納法により ak=(r−1)k+1 がすべての自然数 k で成り立つ。
よって
k=1∑nak=k=1∑n{(r−1)k+1}=(r−1)2n(n+1)+n.
したがって ∑k=1nak=(r−1)2n(n+1)+n である。
別解。dk=ak−{(r−1)k+1} とおくと、上の計算と同じ整理により dk+1=rdk となる。しかも d1=a1−r=0 であるから、すべての k で dk=0 である。よって同じく ak=(r−1)k+1 を得る。
