東北大学 1986年度
文系数学 前期 第4問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文系
- 分野
- 微分、積分
- 解法
- 微分による最大最小、計算整理
- 難易度
- 6 / 10 計算量 6 / 10 目安 24〜30分
問題
aは実数とし，f(x)=a(x−1)2(x+1)+xとする．aの関数F(a)=∫−11{f′(x)}3dxの極小値を求めよ．
出典：東北大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第4問
方針
まず f′(x) を a の一次式として求め、F(a)=∫−11{f′(x)}3dx を a の多項式として計算する。積分後は F′(a) の符号を調べれば極値が分かる。臨界点は a=−7/6 と a=0 であり、符号変化から a=0 が極小になる。最後に F(0) を代入して極小値を出す。
解答
f(x)=a(x−1)2(x+1)+x である。まず (x−1)2(x+1)=x3−x2−x+1 だから dxd{(x−1)2(x+1)}=3x2−2x−1=(x−1)(3x+1) である。したがって f′(x)=a(x−1)(3x+1)+1 である。
よって F(a)=∫−11{a(x−1)(3x+1)+1}3dx である。展開して積分すると F(a)=352(128a3+224a2+35) となる。したがって F′(a)=352(384a2+448a)=35128a(6a+7) である。
臨界点は a=−67,a=0 である。F′(a) の符号を調べると、a<−7/6 で正、−7/6<a<0 で負、a>0 で正である。したがって a=−7/6 では極大、a=0 では極小となる。
よって極小値は F(0)=∫−1113dx=2 である。したがって求める極小値は 2 である。
