東北大学 1986年度文系数学前期第1問解答・解説

問題

空間における基本ベクトル

e_{1} = (1, 0, 0), e_{2} = (0, 1, 0), e_{3} = (0, 0, 1)

を使って，3つのベクトル $a$ ， $b$ ， $c$ を

a = e_{1} + e_{2}, b = e_{1} - e_{2}, c = - e_{1} + e_{3}

と定める．

(1) $a$ と $b$ ， $b$ と $c$ ， $c$ と $a$ のなす角をそれぞれ求めよ．

(2) 2つのベクトル $b$ ， $c$ に直交し，ベクトル $a$ との内積が1であるようなベクトルを $p$ とする． $p$ を基本ベクトル $e_{1}$ ， $e_{2}$ ， $e_{3}$ で表せ．

出典：東北大学 1986年度前期日程第2次学力試験文系前期第1問

方針

$(1)$ は3つのベクトルを座標で書き、内積と長さから $cos θ$ を求める。 $a$ と $b$ は内積が0なので直角、残り2組は内積が $- 1$ 、長さがどちらも $2$ なので角が $12 0^{\circ}$ になる。 $(2)$ は $p = (x, y, z)$ とおき、 $b$ 、 $c$ との直交条件と、 $a$ との内積条件の3本の一次方程式を解く。

解答

(1)

与えられたベクトルは $a = (1, 1, 0), b = (1, - 1, 0), c = (- 1, 0, 1)$ である。まず $∣ a ∣ = ∣ b ∣ = ∣ c ∣ = 2$ である。 $a$ と $b$ については $a \cdot b = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1) + 0 \cdot 0 = 0$ である。したがって $cos ∠ (a, b) = 0$ なので、なす角は $\frac{π}{2}$ である。

次に $b \cdot c = 1 \cdot (- 1) + (- 1) \cdot 0 + 0 \cdot 1 = - 1$ であるから $cos ∠ (b, c) = \frac{- 1}{2 2} = - \frac{1}{2}$ である。よって、なす角は $\frac{2 π}{3}$ である。

また $c \cdot a = (- 1) \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = - 1$ であるから、同じく $cos ∠ (c, a) = - \frac{1}{2}$ である。したがって、なす角は $\frac{2 π}{3}$ である。

(2)

$p = (x, y, z)$ とおく。 $p$ は $b$ 、 $c$ に直交するので $p \cdot b = x - y = 0$ であり、 $p \cdot c = - x + z = 0$ である。また $a$ との内積が1であるから $p \cdot a = x + y = 1$ である。

これらを解くと、 $x = y$ 、 $z = x$ 、 $x + y = 1$ より $x = y = z = \frac{1}{2}$ である。したがって

p = \frac{1}{2} e_{1} + \frac{1}{2} e_{2} + \frac{1}{2} e_{3}

である。

東北大学 1986年度文系数学 前期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1986年度
文系数学前期第1問