東北大学 1986年度
文系数学 前期 第3問

解答

とする。計算すると

である。したがって $A^3=A$ が成り立つためには $4ab+4a-3=0$ $2a+4b^2+2b-3=0$ $4ab+a+4b^3-4b=0$ が必要であり、これらが成り立てば十分でもある。

第1式から $4a(b+1)=3$ なので、$a\ne 0$ である。また第2式から $2a=3-4b^2-2b$ である。

第3式から第1式の一部を利用するため、$4ab+4a-3=0$ を $4ab=3-4a$ と書く。これを第3式に代入すると $(3-4a)+a+4b^3-4b=0$ すなわち $3-3a+4b^3-4b=0$ である。よって $a=1+\frac{4}{3}{b}^3-\frac{4}{3}b$ を得る。

一方、第2式からは $a=\frac{3-4b^2-2b}{2}$ である。これらを等しいとして整理すると $2\left(1+\frac{4}{3}{b}^3-\frac{4}{3}b\right)=3-4b^2-2b$ である。両辺を3倍して整理すると $8b^3+12b^2-2b-3=0$ となる。この左辺は $(2b-1)(2b+1)(2b+3)$ と因数分解できる。したがって $b=\frac{1}{2},b=-\frac{1}{2},b=-\frac{3}{2}$ である。

第1式 $4a(b+1)=3$ から、それぞれ $b=\frac{1}{2}\text{ のとき }a=\frac{1}{2},$ $b=-\frac{1}{2}\text{ のとき }a=\frac{3}{2},$ $b=-\frac{3}{2}\text{ のとき }a=-\frac{3}{2}$ となる。よって求める組は

である。