東北大学 1986年度文系数学前期第2問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ を次の式で帰納的に定義する．

a_{1} = 3, a_{k + 1} = 4 a_{k} + 3 (k = 1, 2, \dots\dots)

(1) 一般項 $a_{n}$ を求めよ．

(2) 次の和を求めよ． $k = 1 \sum n \frac{1}{lo g _{2} ( a _{k} + 1 ) lo g _{2} ( a _{k + 1} + 1 )}$

出典：東北大学 1986年度前期日程第2次学力試験文系前期第2問

方針

漸化式の定数項を消すために $a_{k} + 1$ に注目する。すると $a_{k + 1} + 1 = 4 (a_{k} + 1)$ となり、等比数列として一般項がすぐに出る。第2問の和では、 $a_{k} + 1 = 4^{k}$ から $lo g_{2} (a_{k} + 1) = 2 k$ と簡単になり、 $1/ (k (k + 1))$ の部分分数分解で和を求める。

解答

(1)

与えられた漸化式は $a_{k + 1} = 4 a_{k} + 3$ である。両辺に1を加えると $a_{k + 1} + 1 = 4 a_{k} + 4 = 4 (a_{k} + 1)$ となる。また $a_{1} + 1 = 3 + 1 = 4$ である。したがって $a_{n} + 1$ は初項4、公比4の等比数列であり、 $a_{n} + 1 = 4^{n}$ である。よって $a_{n} = 4^{n} - 1$ である。

(2)

$(1)$ より $a_{k} + 1 = 4^{k}$ であるから $lo g_{2} (a_{k} + 1) = lo g_{2} 4^{k} = 2 k$ である。同様に $lo g_{2} (a_{k + 1} + 1) = 2 (k + 1)$ である。

したがって求める和は

k = 1 \sum n \frac{1}{lo g _{2} ( a _{k} + 1 ) lo g _{2} ( a _{k + 1} + 1 )} = k = 1 \sum n \frac{1}{( 2 k ) 2 ( k + 1 )}

である。すなわち $= \frac{1}{4} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k ( k + 1 )}$ である。ここで $\frac{1}{k ( k + 1 )} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$ だから $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k ( k + 1 )} = 1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1}$ である。よって

k = 1 \sum n \frac{1}{lo g _{2} ( a _{k} + 1 ) lo g _{2} ( a _{k + 1} + 1 )} = \frac{n}{4 ( n + 1 )}

である。

東北大学 1986年度文系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1986年度
文系数学前期第2問