問題
平面上に点を中心とする半径2の円を描く．点がこの円周上を動くときの平方の最小値を求めよ．ただしは原点とする．
出典：東北大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第6問
方針
平面への原点からの垂線の足 を求める。円はその平面内にあり， は平面に垂直なので，任意の円周上の点 について と分解できる。あとは平面内で，中心 ，半径2の円周上の点と との距離の最小値を求める。 が円の外にあること，すなわち も確認してから最短距離を決める。
解答
平面 の法線ベクトルは であり， である。原点からこの平面へ下ろした垂線の足を とする。 は の方向にあるので とおける。これを平面の式に代入すると より である。したがって であり である。
円の中心は である。実際， なので は平面上にある。平面内での と の距離は
であるから である。
任意の円周上の点 はこの平面上にある。 は平面に垂直であり， は平面内にあるので である。よって を最小にするには，平面内で を最小にすればよい。
平面内の円は中心 ，半径2である。 なので， に最も近い円周上の点は，線分 上で から の方向へ半径2だけ進んだ点である。したがって である。
よって
である。