問題
数直線上を原点から出発して点が動く．サイコロを投げて，1，4の目のいずれかが出れば，負の方向に1だけ動き，2，3，5，6の目のいずれかが出れば，正の方向に2だけ動く．
(1) 8回サイコロを投げたとき，0.94以上の確率で点が存在する最小の範囲を求めよ．
(2) 8回サイコロを投げたとき，点の位置の平均値を求めよ．
出典：東北大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第4問
方針
正方向に進む回数を と置くと，8回後の位置は で表せる。 は成功確率 の二項分布に従うので，各 の確率を表にして，確率0.94以上を満たす最短の連続範囲を探す。(2) は1回の移動量の平均を求め，8回分を足せばよい。 連続した範囲であることを意識し，4点で不足，5点で十分という順に確認する。
解答
(1)
1回の試行で，負の方向に1だけ動く確率は であり，正の方向に2だけ動く確率は である。
8回のうち，正の方向に2だけ動く回数を とする。このとき負の方向に1だけ動く回数は であり，8回後の位置 は である。また は
に従う。
分母を にそろえると，各 の確率の分子は次の通りである。
対応する位置は である。
確率0.94以上を含む範囲をできるだけ短くするには，確率の大きい連続した位置を選ぶ。連続する4個の位置を選んだときの最大確率は である。したがって4個以下の位置を含む範囲では足りない。
連続する5個の位置 を選ぶと，位置は であり，確率は である。よって求める最小の範囲は である。
(2)
1回の移動量を とする。すると
であるから，1回あたりの平均は である。8回の移動量の平均はその8倍なので である。