東北大学 1985年度理系数学前期第3問解答・解説

問題

$[x]$ によって実数 $x$ をこえない最大の整数を表し， $f (x) = x - 2 [\frac{x + 1}{2}]$ とおく．

(1) $y = f (x)$ のグラフを描け．

(2) $n \to \infty lim \int_{0}^{2 n} e^{- 2 x} f (x) d x$ の値を求めよ．

出典：東北大学 1985年度前期日程第2次学力試験理系前期第3問

方針

床関数の中身から， $2 m - 1 ≦ x < 2 m + 1$ では $[(x + 1) /2] = m$ となることを読み取り， $f (x) = ∣ x - 2 m ∣$ という周期2の三角波に直す。(2) は非負関数なので $[0, 2 n]$ の積分の極限を $[0, \infty)$ の積分とみなし，周期性により等比級数へ分解する。最初の1周期の積分を丁寧に計算する。

解答

(1)

整数 $m$ に対して $2 m - 1 ≦ x < 2 m + 1$ なら $m ≦ \frac{x + 1}{2} < m + 1$ であるから $[\frac{x + 1}{2}] = m$ である。したがってこの範囲では $f (x) = ∣ x - 2 m ∣$ となる。

特に $0 ≦ x < 2$ では

f (x) = {x 2 - x (0 ≦ x < 1), (1 ≦ x < 2)

である。また $f (x + 2) = f (x)$ が成り立つので， $y = f (x)$ は周期2の三角波である。すなわち，各整数 $m$ について点 $(2 m - 1, 1), (2 m, 0), (2 m + 1, 1)$ を直線で結んだ折れ線を，周期2で繰り返すグラフである。

(2)

$f (x)$ は周期2であり， $e^{- 2 x}$ は正で小さくなるので，求める極限は $\int_{0}^{\infty} e^{- 2 x} f (x) d x$ である。周期性を用いて

\int_{0}^{\infty} e^{- 2 x} f (x) d x = k = 0 \sum \infty \int_{2 k}^{2 k + 2} e^{- 2 x} f (x) d x = k = 0 \sum \infty e^{- 4 k} \int_{0}^{2} e^{- 2 u} f (u) d u = \frac{\int _{0}^{2} e ^{- 2 u} f ( u ) d u}{1 - e ^{- 4}}

である。

ここで1周期分を計算する。

\int_{0}^{2} e^{- 2 u} f (u) d u = \int_{0}^{1} u e^{- 2 u} d u + \int_{1}^{2} (2 - u) e^{- 2 u} d u

である。まず $\int u e^{- 2 u} d u = - (\frac{u}{2} + \frac{1}{4}) e^{- 2 u}$ だから $\int_{0}^{1} u e^{- 2 u} d u = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} e^{- 2}$ である。また $\int (2 - u) e^{- 2 u} d u = (\frac{u}{2} - \frac{3}{4}) e^{- 2 u}$ なので $\int_{1}^{2} (2 - u) e^{- 2 u} d u = \frac{1}{4} e^{- 4} + \frac{1}{4} e^{- 2}$ である。よって

\int_{0}^{2} e^{- 2 u} f (u) d u = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} e^{- 2} + \frac{1}{4} e^{- 4} = \frac{( 1 - e ^{- 2} ) ^{2}}{4}

となる。

したがって

n \to \infty lim \int_{0}^{2 n} e^{- 2 x} f (x) d x = \frac{( 1 - e ^{- 2} ) ^{2}}{4 ( 1 - e ^{- 4} )} = \frac{1 - e ^{- 2}}{4 ( 1 + e ^{- 2} )} = \frac{e ^{2} - 1}{4 ( e ^{2} + 1 )}

である。

東北大学 1985年度理系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1985年度
理系数学前期第3問