問題
曲線上の媒介変数 に対応する点をとする．
(1) 上の2点との間の弧の長さを求めよ．
(2) でのの接線上に点をより左側に，となるようにとる．の座標を求めよ．
(3) がの範囲で動くとき，の描く曲線はのの部分と合同になることを証明せよ．
出典：東北大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第5問
方針
速度を半角公式で単位化して弧長と を求め、 と置いて後半のサイクロイドとの平行移動対応を示す。
解答
{(1)曲線 は で表される。微分すると である。したがって弧長の微小量は である。根号内を整理すると
である。 では なので である。
点 は に対応する。よって から までの弧の長さ は
である。したがって である。
(2)
接線方向を求める。上で見たように
である。半角公式を使うと
なので，増加方向の単位ベクトルは である。点 は より左側にあるから，接線上で用いる単位ベクトルは反対向きの である。
したがって である。(1) の を用いると
であり，
である。よって である。
(3)
の の部分を考える。ここで とおくと， に対して確かに である。このとき なので， 上の対応する点は である。この点をベクトル だけ平行移動すると となる。これは (2) で求めた の座標である。
したがって， の描く曲線は， の の部分を平行移動したものである。平行移動では図形の形も長さも変わらないから，両者は合同である。}