問題
空間内の3直線
を考える．上の点に対し，を通り，と交わる直線をとする．
(1) の方程式を求めよ．
(2) と，との交点をそれぞれ，とする．が上を動くとき，の最小値を求めよ．
出典：東北大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第4問
方針
上の点をそれぞれ1つの媒介変数で表し，それらと が一直線上にある条件を成分で解く。実際には比例定数が となり， が の中点になる。交点が出たら を の2次式にして平方完成し，最小値を求める。
解答
(1)
上の点を とおく。また 上の点を とおく。求める直線 は ，， を通るので， と が平行である。
そこで とおく。成分で書くと である。第2成分と第3成分から を得る。両式を引くと である。したがって である。これを第1成分に代入すると となり すなわち を得る。
よって であり， である。方向ベクトルを3倍して，求める直線は と表せる。ただし は実数である。
(2)
(1) で求めた通り である。また である。したがって
であり，
である。よって最小は のときで， である。したがって である。