問題
濃度％の食塩水が入っている容器と，濃度％の食塩水が入っている容器がある．よりの食塩水をとってそれをにうつし，よく混ぜ合わせた後に同量をに戻すものとする．この操作を回くり返したときの，の食塩水の濃度をそれぞれ％，％とする．
(1) はどのような数列となるか．
(2) ，を求めよ．
出典：東北大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第3問
方針
各回の直前の濃度を として，1回の移動後の ， を体積で重み付けして求める。差 は1本の漸化式になり，全体の食塩量から決まる平均濃度は不変である。この不変量と差を組み合わせれば が直接求まる。
解答
初めの濃度を とする。以下， 回の操作後の濃度を とする。
(1)
ある回の操作前の濃度を とする。まず から を に移すと， には の食塩水が入り，その濃度は である。よく混ぜた後，この から を に戻すので，操作後の の濃度は である。
一方， には初め あったが， を出した後に が残る。その濃度はまだ である。そこへ濃度 の食塩水 が戻るから
である。したがって
となる。
よって であり， は初項 ，公比 の等比数列である。
(2)
操作では食塩水を2つの容器の間で移しているだけなので，全体の食塩量は変わらない。全体 の平均濃度を とすると である。したがって任意の について すなわち が成り立つ。
また (1) より である。 を に代入すると より である。さらに である。
よって
である。