問題
2次曲線，直線および軸で囲まれた図形をとする．内にあり，かつ座標軸に平行な辺をもつ長方形をから取り除き残りの部分の面積を最小にしたい．その最小値を求めよ．
出典：東北大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
長方形を最大に取り除けば残りの面積が最小になる。高さを とすると，水平線 が図形 を切る左右端は，左が直線から ，右が放物線から である。よって長方形面積を の関数にし， と置いて微分を軽くする。最後に 全体の面積から最大長方形面積を引く。
解答
残りの部分の面積を最小にするには，取り除く長方形の面積を最大にすればよい。
まず図形 を確認する。放物線は であり， 軸とは で交わる。また直線 とは より で交わる。したがって の上側の境界は， では直線 ， では放物線である。
座標軸に平行な辺をもつ長方形が 内にあるとする。長方形を真下に動かしても から出ないので，最大の長方形は下辺を 軸上にもつとしてよい。上辺の高さを とすれば である。
高さ の水平線で を切る。左端は直線 から である。右端は放物線 から すなわち であり，右側の境界なので である。したがって高さ の長方形の最大面積を とすると である。
ここで とおく。すると ， である。また なので
である。微分すると
である。 で符号が変わる点は だけであり， はそこで最大となる。実際， で ， で である。
このとき
であるから， である。
次に の面積を求める。上側境界に従って
である。したがって残りの部分の面積の最小値は
である。