問題
三角形において，，，とおく．ここではベクトルの内積を表す．このとき，次の問に答えよ．
(1) のとき，はどのような三角形となるか．
(2) のとき，はどのような三角形となるか．
(3) の面積はであることを証明せよ．
出典：東北大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第1問
方針
辺長の二乗で を表し、内積0・内積同士の一致を直角・二等辺条件へ直す。面積は と比較する。
解答
{(1)3辺の長さを とおく。まず である。 は頂点 から見た と向きが反対であるが，内積が0であるかどうかには影響しない。したがって は， と が垂直であること，すなわち と同値である。同様に
である。
よって なら， の少なくとも1つが0であるから， は直角三角形である。逆に直角三角形なら，直角の頂点に対応する内積が0になる。したがって答えは である。
(2)
辺の長さの2乗を とおく。三角形のベクトルは を満たすので，たとえば である。両辺の長さの2乗をとると となる。ここで だから である。同じようにして を得る。
この表示から
である。したがって なら，少なくとも2つの辺の長さが等しい。よって は二等辺三角形である。逆に二等辺三角形なら対応する2つの辺の長さの2乗が等しく，上のいずれかの等式が成り立つ。したがって答えは である。正三角形も二等辺三角形に含まれる。
(3)
とおく。このとき2辺 がつくる平行四辺形の面積の2乗は であるから，三角形の面積を とすると である。ここで ， であり， である。
一方，(2) で得た を用いる。計算を見やすくするため とおくと である。したがって
となる。
また より
である。よって となるから である。面積は正なので が成り立つ。}