問題
(1) となるように定数，を定めよ．
(2) (1)で求めた，に対して，曲線および2つの直線，で囲まれた図形を，軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
出典：東北大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第6問
方針
問題文の極限変数は になっているが、式は の関数なので の極限として扱う。まず から を決め、次に有理化で を示して を得る。(2) は直線 と曲線の上下を平方で比較し、交点 までを回転体の体積として積分する。
解答
(1)
まず
であり、 で右辺は に近づく。したがって差が に近づくためには でなければならない。
次に
である。分母を で割って見ると
であり、 で に近づく。したがって であるから である。
(2)
(1) より直線は である。曲線を とおく。 で両方とも非負であり、 である。したがって では直線の方が上にあり、 で曲線と直線が交わる。
よって、、曲線、直線で囲まれる部分を 軸のまわりに回転してできる体積は である。すなわち であり、 だから である。