問題
を自然数とし，とする．
(1) が実数全体を動くとき，の値を最小にするような実数の集合を求めよ．
(2) の最小値をとするとき，およびを求めよ．
出典：東北大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第5問
方針
絶対値の和は、点 からの距離の和である。偶数個の点に対する距離和は中央の2点の間で最小になることを、左右の点数または対にして確認する。(2) は で左に 個、右に 個あることを使い、 の項が消える形で等比数列の和を計算する。
解答
(1)
であり、 はこれら 個の点から までの距離の和である。 が区間 にあるとき、左側にある点の個数を 、右側にある点の個数を と見ると、 を少し右に動かしたとき、左側の距離は 個増え、右側の距離は 個減る。したがって では右に動かすと は減少し、 では右に動かすと は増加する。中央である では、左側と右側の個数がどちらも 個になるため、距離和は一定で最小となる。
よって、 の値を最小にする の集合は である。
(2)
とする。このとき である。左側、右側ともに 個ずつあるので、 の項は打ち消し合い、 となる。等比数列の和を用いると
である。したがって である。
また だから
である。右辺の第2項、第3項は で に近づくので である。