東北大学 1984年度理系数学前期第3問解答・解説

問題

正の数 $α$ ， $β$ ， $m$ ， $n$ が次の条件を満たしている．

2 α + β = \frac{π}{4}, tan α = \frac{1}{m}, tan β = \frac{1}{n}

(1) $m$ を用いて $n$ を表せ．

(2) $m$ ， $n$ がともに整数であるとき， $m$ と $n$ を求めよ．

出典：東北大学 1984年度前期日程第2次学力試験理系前期第3問

方針

条件 $2 α + β = π /4$ から $β = π /4 - 2 α$ とし、 $tan 2 α$ と $tan (π /4 - 2 α)$ を加法定理で表す。(2) では $β > 0$ から分母が正であることを確認し、 $n = 1 + 4 m / (m^{2} - 2 m - 1)$ と変形して、正の整数候補を有限個に絞る。

解答

(1)

$tan α = \frac{1}{m}$ であるから

tan 2 α = \frac{2 tan α}{1 - tan ^{2} α} = \frac{2/ m}{1 - 1/ m ^{2}} = \frac{2 m}{m ^{2} - 1}

である。また $β = \frac{π}{4} - 2 α$ なので

tan β = tan (\frac{π}{4} - 2 α) = \frac{1 - tan 2 α}{1 + tan 2 α}

である。これに上の式を代入して

tan β = \frac{1 - \frac{2 m}{m ^{2} - 1}}{1 + \frac{2 m}{m ^{2} - 1}} = \frac{m ^{2} - 2 m - 1}{m ^{2} + 2 m - 1}

となる。一方、 $tan β = 1/ n$ であるから $\frac{1}{n} = \frac{m ^{2} - 2 m - 1}{m ^{2} + 2 m - 1}$ であり、 $n = \frac{m ^{2} + 2 m - 1}{m ^{2} - 2 m - 1}$ である。

(2)

$β > 0$ だから $tan β > 0$ である。したがって (1) の分母 $m^{2} - 2 m - 1$ は正でなければならない。特に整数 $m$ について $m ≧ 3$ である。また $n = \frac{m ^{2} + 2 m - 1}{m ^{2} - 2 m - 1} = 1 + \frac{4 m}{m ^{2} - 2 m - 1}$ である。 $n$ が整数となるには、正の整数 $m^{2} - 2 m - 1$ が $4 m$ を割り切る必要がある。特に $m^{2} - 2 m - 1 ≦ 4 m$ である。すなわち $m^{2} - 6 m - 1 ≦ 0$ だから、 $m ≧ 3$ と合わせて $m = 3, 4, 5, 6$ だけを調べればよい。

実際に計算すると

m m^{2} - 2 m - 1 n 327 47 23/7 514 17/7 623 47/23

である。したがって整数となるのは $m = 3, n = 7$ だけである。

東北大学 1984年度理系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1984年度
理系数学前期第3問