問題
曲線がある．ここに対数は自然対数で，はその底とする．
(1) 原点から曲線に引いた接線の方程式を求めよ．
(2) (1)における接線の接点をとする．曲線の下側にあって，軸と点で接し，かつで曲線と共通の接線をもつ円の中心をとする．曲線と軸および円の弧（中心角に対する弧）で囲まれた図形の面積を求めよ．
方針
(1) は接点を と置き、接線が原点を通る条件から を求める。(2) は円が 軸に接するので中心を 、半径を と置く。点 で曲線と共通接線をもつことから半径 は接線に垂直であり、そこから中心と半径を決める。面積は、曲線の下の面積と、媒介変数で表した円弧の下の面積を足して求める。
解答
(1)
曲線を とおく。 における接線は、導関数 を用いて である。これが原点を通るためには すなわち であればよい。よって である。したがって接点は であり、接線は である。
(2)
円は 軸に接するので、中心を 半径を とおく。点 における共通接線の傾きは であるから、半径 はこの接線に垂直であり、傾きは である。したがって である。また は円周上にあるから である。
上の2式からは候補として と の2組を得る。後者では点 は円の下側の弧にあり、その弧の における第2導関数は である。一方、曲線 の第2導関数は だから、後者の円弧は の近くで曲線 より上側に出てしまう。したがって「曲線 の下側にある」という条件を満たすのは の方だけである。よって であり、 軸との接点は である。
求める図形は、曲線 の から までの部分、円弧 、および 軸で囲まれる。曲線の下の面積は である。
次に円弧 を と表す。点 は 、点 は に対応し、この弧の中心角は である。したがって円弧の下の面積は
である。この値は であり、
だから
である。 を代入して、円弧部分の寄与は
となる。
したがって求める面積は である。整理すると である。