東北大学 1984年度文系数学前期第4問解答・解説

問題

実数 $x$ ， $y$ はすべての正数 $t$ に対して，不等式

x - 4 ≦ y ≦ (3 t^{2} - 1) x + 2 t^{3}

を満たしている．

(1) $x$ ， $y$ の満たす関係式を求め，点 $(x, y)$ の存在する範囲 $D$ を図示せよ．

(2) $D$ の面積を求めよ．

出典：東北大学 1984年度前期日程第2次学力試験文系前期第4問

方針

条件は $y ≧ x - 4$ と、すべての $t > 0$ に対する上側の制限に分けられる。上側は $ϕ (t) = (3 t^{2} - 1) x + 2 t^{3}$ の $t > 0$ における下限であり、 $x ≧ 0$ と $x < 0$ で最小の取り方が変わる。下側直線と上側曲線が交わる範囲を求め、2つの積分に分けて面積を出す。

解答

(1)

条件は $y ≧ x - 4$ かつ、すべての $t > 0$ について $y ≦ (3 t^{2} - 1) x + 2 t^{3}$ であることを意味する。 $ϕ (t) = (3 t^{2} - 1) x + 2 t^{3} = - x + 3 x t^{2} + 2 t^{3}$ とおく。上側の境界は、 $t > 0$ における $ϕ (t)$ の下限で決まる。微分すると $ϕ^{'} (t) = 6 t (x + t)$ である。 $x ≧ 0$ のとき、 $t > 0$ では $ϕ^{'} (t) > 0$ である。したがって $ϕ (t)$ は増加し、下限は $t$ を $0$ に近づけたときの $- x$ である。よって $y ≦ - x$ となる。 $x < 0$ のとき、 $ϕ^{'} (t) = 0$ となる正の値は $t = - x$ である。そこで最小となり、 $ϕ (- x) = - x + 3 x (- x)^{2} + 2 (- x)^{3} = x^{3} - x$ である。よって $y ≦ x^{3} - x$ となる。

したがって領域 $D$ は $x < 0 では x - 4 ≦ y ≦ x^{3} - x,$ $x ≧ 0 では x - 4 ≦ y ≦ - x$ で表される。さらに上下の大小から範囲を決める。 $x < 0$ では $x - 4 ≦ x^{3} - x$ すなわち $x^{3} - 2 x + 4 ≧ 0$ である。これは $x^{3} - 2 x + 4 = (x + 2) (x^{2} - 2 x + 2)$ であり、 $x^{2} - 2 x + 2 = (x - 1)^{2} + 1 > 0$ だから $- 2 ≦ x < 0$ である。 $x ≧ 0$ では $x - 4 ≦ - x$ より $0 ≦ x ≦ 2$ である。

よって $D : - 2 ≦ x ≦ 0, x - 4 ≦ y ≦ x^{3} - x$ および $0 ≦ x ≦ 2, x - 4 ≦ y ≦ - x$ である。図は、下側が直線 $y = x - 4$ 、上側が $- 2 ≦ x ≦ 0$ で曲線 $y = x^{3} - x$ 、 $0 ≦ x ≦ 2$ で直線 $y = - x$ となる領域である。境界上の主な点は $(- 2, - 6), (0, - 4), (0, 0), (2, - 2)$ である。

(2)

面積は2つに分けて $\int_{- 2}^{0} {(x^{3} - x) - (x - 4)} d x + \int_{0}^{2} {(- x) - (x - 4)} d x$ である。第1項は

\int_{- 2}^{0} (x^{3} - 2 x + 4) d x = [\frac{x ^{4}}{4} - x^{2} + 4 x]_{- 2}^{0} = 8

である。第2項は $\int_{0}^{2} (4 - 2 x) d x = [4 x - x^{2}]_{0}^{2} = 4$ である。したがって $面積 = 8 + 4 = 12$ である。

東北大学 1984年度文系数学 前期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1984年度
文系数学前期第4問