東北大学 1984年度文系数学前期第2問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ において， $a_{n} ≧ 0$ $(n = 1, 2, \dots\dots)$ とし， $s_{n} = k = 1 \sum n a_{k}$ とおく．このとき，次の不等式を数学的帰納法を用いて証明せよ．

(1 + a_{1}) (1 + a_{2}) \dots\dots (1 + a_{n}) ≦ 1 + s_{n} + \frac{s _{n} ^{2}}{2 !} + \dots\dots + \frac{s _{n} ^{n}}{n !}

出典：東北大学 1984年度前期日程第2次学力試験文系前期第2問

方針

右辺を $E_{n} (s) = \sum_{r = 0}^{n} s^{r} / r!$ とおき、帰納法で $(1 + a_{n + 1}) E_{n} (s_{n}) ≦ E_{n + 1} (s_{n} + a_{n + 1})$ を示す。差を直接評価し、 $(s + a)^{r} - s^{r} ≧ r a s^{r - 1}$ と、最後の項 $(s + a)^{n + 1} / (n + 1)!$ が不足分を補うことを使う。別解として、積を部分集合の和として展開する見方でも確認できる。

解答

$E_{n} (u) = \sum_{r = 0}^{n} \frac{u ^{r}}{r !}$ とおく。示すべき不等式は $(1 + a_{1}) (1 + a_{2}) \dots (1 + a_{n}) ≦ E_{n} (s_{n})$ である。 $n = 1$ のときは $s_{1} = a_{1}$ であり、 $1 + a_{1} = 1 + s_{1} = E_{1} (s_{1})$ だから成り立つ。 $n$ で成り立つと仮定する。 $a = a_{n + 1}$ , $s = s_{n}$ とおくと、 $s_{n + 1} = s + a$ である。帰納法の仮定より

(1 + a_{1}) (1 + a_{2}) \dots (1 + a_{n + 1}) = {(1 + a_{1}) (1 + a_{2}) \dots (1 + a_{n})} (1 + a) ≦ (1 + a) E_{n} (s)

である。したがって $(1 + a) E_{n} (s) ≦ E_{n + 1} (s + a)$ を示せばよい。 $s, a ≧ 0$ であるから、 $1 ≦ r ≦ n$ について $(s + a)^{r} - s^{r} ≧ r a s^{r - 1}$ である。また二項展開の $a s^{n}$ の項を見れば $(s + a)^{n + 1} ≧ (n + 1) a s^{n}$ である。よって $\frac{( s + a ) ^{n + 1}}{( n + 1 )!} ≧ \frac{a s ^{n}}{n !}$ である。

以上を用いると

E_{n + 1} (s + a) - E_{n} (s) = r = 1 \sum n \frac{( s + a ) ^{r} - s ^{r}}{r !} + \frac{( s + a ) ^{n + 1}}{( n + 1 )!} ≧ r = 1 \sum n \frac{r a s ^{r - 1}}{r !} + \frac{a s ^{n}}{n !} = a r = 0 \sum n \frac{s ^{r}}{r !} = a E_{n} (s)

である。したがって $E_{n + 1} (s + a) ≧ (1 + a) E_{n} (s)$ が成り立つ。これにより $(1 + a_{1}) (1 + a_{2}) \dots (1 + a_{n + 1}) ≦ E_{n + 1} (s_{n + 1})$ が示された。数学的帰納法により、すべての正の整数 $n$ について不等式が成り立つ。

東北大学 1984年度文系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

東北大学 1984年度
文系数学前期第2問