問題
空間に3点，，がある．
(1) を原点とするとき，2つのベクトル，のなす角を求めよ．ただし，とする．
(2) 点より直線に下ろした垂線の長さがになるようにの値を求めよ．
出典：東北大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第3問
方針
(1) は と の内積で角を求める。 の符号で の向きが反転するため、角も2通りに分かれる。(2) は点から直線への距離を、 から 方向の成分を引いた長さで求める。平方のまま計算し、距離の条件を二次方程式にする。
解答
(1)
であり、 である。したがって
である。また である。なす角を とすると である。よって
であるから、
である。
(2)
である。直線 の方向ベクトルは である。点 から直線 への距離の2乗は、 から 方向の成分を除いた部分の長さの2乗だから
である。
まず
である。また
であり、 である。したがって距離の2乗は
となる。
この距離が であるから である。整理して すなわち である。よって である。