問題
平面上で，行列
により与えられる1次変換を，原点のまわりに回転する1次変換をとする．
(1) 平面上の任意の点がによって，ある直線上の点にうつされることを示し，の方程式を求めよ．
(2) を上の点とする．合成写像によって，にうつされる点全体のつくる図形を求めよ．
出典：東北大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第1問
方針
行列を の形に分解し、 が任意の点を 方向の直線へ移す変換であることを見る。(2) は にうつされる点全体、つまり を満たす点 の集合を求める問題である。回転 の後で を作用させ、結果の点が になることを成分計算で確認して、横一直線を得る。
解答
(1)
与えられた行列を とおくと
である。したがって、任意の点の位置ベクトルを とすると
となる。つまり は常に
の実数倍である。よって、移った点は原点を通り傾き の直線上にある。求める直線は である。
(2)
点 が によって にうつされる条件を求める。原点のまわりに 回転する変換 は
である。これに を作用させると、(1) の表示より
である。したがって となる。
いま は 上にあるので である。 となるためには すなわち であればよい。 には条件がない。よって、 にうつされる点全体のつくる図形は直線 である。