東北大学 1983年度
文系数学 前期 第4問

解答

(1)

下底からの高さを $z$ とする。$z=0$ で半径 $b$、$z=h$ で半径 $a$ なので、底面に平行な断面の半径は $r(z)=b+\frac{a-b}{h}z(0\leqq z\leqq h)$ である。

したがって体積は $V=\pi {\int }_0^{h}r(z{)}^{2}dz$ である。$u=z/h$ と見れば $V=\pi h{\int }_0^1\{b+(a-b)u{\}}^{2}du$ となる。積分して $V=\pi h\left\{b^2+b(a-b)+\frac{(a-b{)}^2}{3}\right\}$ である。整理すると $V=\frac{\pi h}{3}(a^2+ab+b^2)$ となる。

(2)

点 $(x,y)$ を原点のまわりに $\theta$ だけ回転すると $(x\cos \theta -y\sin \theta ,x\sin \theta +y\cos \theta )$ になる。その後、$y$ 座標に $1$ を加えればよい。

したがって $P=(\cos \theta ,1+\sin \theta )$ $Q=(-\sin \theta ,1+\cos \theta )$ $R=(-\cos \theta ,1-\sin \theta )$ $S=(\sin \theta ,1-\cos \theta )$ である。

(3)

$0\leqq \theta \leqq \pi /2$ では $1-\sin \theta \geqq 0,1-\cos \theta \geqq 0$ なので、正方形 $PQRS$ は $x$ 軸の下側へ出ない。

正方形の面積は、回転・平行移動で変わらないので $2$ である。また重心は、もとの正方形の重心である原点を $y$ 方向に $1$ だけ移した点なので $(0,1)$ である。

(1) の円すい台の公式を、細かい面積片に適用して考える。高さ $y$ にある小さい面積片 $dS$ を $x$ 軸のまわりに回転すると、その体積は極限的に $2\pi ydS$ になる。したがって全体の体積は $V=2\pi {\iint }_{PQRS}ydS$ である。

ここで ${\iint }_{PQRS}ydS$ は、面積に重心の $y$ 座標を掛けたものだから ${\iint }_{PQRS}ydS=2\cdot 1=2$ である。よって $V=4\pi$ である。