東北大学 1983年度
文系数学 前期 第3問

解答

(1)

$f(t)=A{t}^4+B{t}^3+C{t}^2+Dt+E$ とおく。条件 ${\int }_{x-1}^{x}f(t)dt=x^4$ の両辺を $x$ で微分すると $f(x)-f(x-1)=4x^3$ を得る。

ここで $x^4-(x-1{)}^4=4x^3-6x^2+4x-1,$ $x^3-(x-1{)}^3=3x^2-3x+1,$ $x^2-(x-1{)}^2=2x-1$ である。したがって係数比較により $4A=4,$ $-6A+3B=0,$ $4A-3B+2C=0,$ $-A+B-C+D=0$ となる。順に解いて $A=1,B=2,C=1,D=0$ である。

残る $E$ は差を取ると消えるので、元の条件から決める。$x=0$ を代入すると ${\int }_{-1}^{0}f(t)dt=0$ である。よって ${\int }_{-1}^0(t^4+2t^3+t^2+E)dt=0$ であり、$\frac{1}{5}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+E=0$ となる。したがって $E=-\frac{1}{30}$ である。

よって $f(t)=t^4+2t^3+t^2-\frac{1}{30}$ である。

(2)

(1) の条件で $x=k$ とすると $k^4={\int }_{k-1}^{k}f(t)dt$ である。したがって

となる。よって ${\sum }_{k=1}^n{k}^4={\int }_0^n\left(t^4+2t^3+t^2-\frac{1}{30}\right)dt$ である。

計算すると

であり、因数分解して ${\sum }_{k=1}^n{k}^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$ である。