問題
空間内の4点，，， を考える．3点，，を通る平面が3点，，を通る平面に垂直になるようにを定めよ．
出典：東北大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
2つの平面にそれぞれ垂直なベクトルを、平面上の2本の方向ベクトルに垂直になる条件から求める。平面 は 軸を含むので式が簡単になり、平面 は と置いて2つの内積条件を解く。2平面が垂直であることは、これらの垂直ベクトルどうしの内積が であることに直す。
解答
平面 は原点 と点 を通るので、 軸を含む。したがって、この平面は の形に書ける。さらに を通るので である。よって平面 に垂直なベクトルとして を取れる。
次に平面 を考える。この平面に垂直なベクトルを とする。平面上の方向ベクトルとして を取れるので、 および が成り立つ。これを満たすベクトルとして を取れる。実際、上の2式に代入するとどちらも になる。
2つの平面が垂直であるためには、 と が垂直であればよい。したがって を課す。
計算すると である。左辺を整理して となる。よって である。条件 も満たすので である。