東北大学 1983年度
文系数学 前期 第1問

解答

(1)

である。前の2項をまとめると

だから $f\left(\frac{3}{2}\right)=3-{\left(\frac{3}{2}\right)}^n$ である。$n\geqq 3$ より ${\left(\frac{3}{2}\right)}^n\geqq {\left(\frac{3}{2}\right)}^3=\frac{27}{8}>3$ なので $f\left(\frac{3}{2}\right)<0$ である。

(2)

導関数は $f^{\prime }(x)=2x^{n-1}\{(n+1)x-2n\}$ である。

まず $x>0$ を考える。この範囲では $x^{n-1}>0$ なので、$f^{\prime }(x)$ の符号は $(n+1)x-2n$ の符号で決まる。したがって $x=\frac{2n}{n+1}$ を境に、$f(x)$ は減少から増加へ変わる。

また $f(0)=3,f\left(\frac{3}{2}\right)<0,f(2)=3$ である。よって中間値の定理により、正の解は $0<x<\frac{3}{2}$ に1個、$\frac{3}{2}<x<2$ に1個存在する。正の範囲では増減が1回しか変わらないので、それ以外に正の解はない。したがって正の解は $2\text{個}$ である。

次に $x<0$ を考える。 $f(x)=2x^n(x-2)+3$ である。 $n$ が奇数のとき、$x<0$ では $x^n<0$ かつ $x-2<0$ なので $2x^n(x-2)>0$ である。したがって $f(x)>0$ となり、負の解は存在しない。 $n$ が偶数のとき、$x<0$ では $x^{n-1}<0$ かつ $(n+1)x-2n<0$ なので $f^{\prime }(x)>0$ である。つまり $f(x)$ は負の範囲で単調増加する。また ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty ,f(0)=3$ だから、負の解はちょうど1個である。

以上より、負の解は $n\text{ が偶数なら }1\text{個},n\text{ が奇数なら }0\text{個}$ である。